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एक कण अनंत से पृथ्वी की ओर गिरता है। पृथ्वी पर पहुँचने पर इसका वेग होगा
यह पलायन वेग के बराबर होना चाहिए अर्थात $ \sqrt { 2gR } $
एक पिंड को त्रिज्या R वाले ग्रह की सतह से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर उस ग्रह के पलायन वेग के आधे के बराबर वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। पिंड द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई .......... है।
यदि पिंड को वेग Ï… (Ï… Ve) से प्रक्षेपित किया जाता है तो वह ऊँचाई जहाँ तक वह जाएगा परंतु $ u = { ve \over 2 } $ $ \therefore h = { R \over \left( { Ve \over Ve/2 } \right)^2 -1 } $ $ { R \over 4-1} = R/3 $
गहराई t का एक पात्र आधा तेल (अपवर्तनांक $n_1$) से और दूसरा आधा पानी (अपवर्तनांक $n_2$) से भरा है। ऊपर से देखने पर पात्र की आभासी गहराई है
.आभासी गहराई $ I' = { t_1 \over n_1 } + { t_2 \over n_2 } $ द्वारा दी जाती है
पृथ्वी से रॉकेट का पलायन वेग $11.2 kms^{–1}$ है। एक ऐसे ग्रह पर जहाँ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण पृथ्वी से दोगुना है और ग्रह का व्यास पृथ्वी से दोगुना है, पलायन वेग का मान = ………………..$kms^{–1}$ होगा।
$ { V_p \over V_e } = \sqrt { {g_p \over g_e } . { R_p \over R_e} } = \sqrt { 2 \times 2 } = 2 $ $ \Rightarrow V_e = 2 V_e = 2 \times 11.2 = 22.4 km^{-1} $
पृथ्वी से पलायन वेग लगभग $11 kms^{–1}$ है। एक ऐसे ग्रह से पलायन वेग जिसकी त्रिज्या पृथ्वी से दोगुनी है और जिसका औसत घनत्व पृथ्वी के समान है = ………..$kms^{–1}$।
$Ve = \sqrt { 2GM \over R} = R \sqrt { 8/3 \pi Gp } $ $ \therefore Ve \alpha R if \rho constant $ चूंकि ग्रह की त्रिज्या पृथ्वी की तुलना में दोगुनी है, इसलिए पलायन वेग दोगुना हो जाता है अर्थात $ 22 kms^{-1}$
पृथ्वी की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग Ve है। पृथ्वी की सतह से 7 R ऊँचाई से उसी पिंड का पलायन वेग होगा
$ Ve \alpha { 1\over \sqrt r } $ $ { V_1 \over V_2 } = \sqrt{ r_2 \over r_1 } = \sqrt { R+7R \over R } = 2 \sqrt 2 \Rightarrow V_2 = { V_1 \over 2 \sqrt 2 } $
एक कृत्रिम उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर एक वृत्ताकार कक्षा में घूम रहा है। इसका वेग पलायन वेग का आधा है। पृथ्वी की सतह से इसकी ऊँचाई = km है।
$ v = \sqrt { GM \over R+ h } = {1 \over 2 } \sqrt { 2GM \over R } $ $ \therefore 4R = 2 (R+h )$ $ \therefore h = R = 6400 km$
एक ग्रह का पलायन वेग, जिसका द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान का 6 गुना और त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या का 2 गुना है, .......... है।
$ { V_p \over V_e } = \sqrt {Mp \over Me} \times { Re \over Rp } = \sqrt { 6 \times {1 \over 2 } } = \sqrt 3 $ $ \therefore Ve = \sqrt 3 Ve $
गोलीय कोश के केंद्र पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता क्या है?
गोलीय कोश के अंदर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता शून्य होती है। इसे कोश प्रमेय लागू करके समझा जा सकता है, जो बताता है कि द्रव्यमान का एक एकसमान गोलीय कोश उसके अंदर स्थित कण पर कोई कुल गुरुत्वाकर्षण बल नहीं लगाता है। अतः, गोलीय कोश के केंद्र पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता शून्य है।
दो ग्रह हैं, दोनों ग्रहों की त्रिज्या का अनुपात k है लेकिन दोनों ग्रहों का गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण g है। उनके पलायन वेग का अनुपात क्या होगा।
$ \upsilon = \sqrt{2gR} \therefore {V1 \over V2 } = \sqrt {g1 \over g2 } .{R1\over R2} = \sqrt {gk} = (kg)^ {1/2} $
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