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काँच, जिसका वायु के सापेक्ष अपवर्तनांक 1.5 है, में प्रकाश का वेग $2 \times 10^8 m/s$ है। किसी द्रव में प्रकाश का वेग $2.5 \times10^8 m/s$ पाया जाता है। वायु के सापेक्ष उस द्रव का अपवर्तनांक क्या है?
$ n_g = { C \over v_g } and, n_l = {C \over v_1 } $ $n_l = ng { v_g \over v_l } $
दो बिंदु द्रव्यमानों $m_1$ तथा $m_2$ के बीच पृथकन r पर गुरुत्वाकर्षण बल$ F = G { m_1 m_2 \over r^2 } $ द्वारा दिया जाता है। नियतांक k
यदि R पृथ्वी की त्रिज्या है तथा g पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है, तो पृथ्वी का औसत घनत्व =
$ g = { GM \over R^2 } and M = { 4 \over 3 } \pi R^3 \rho $ $ \therefore g = { G \over R^2 } . {4 \over 3 } \pi R^3 \rho \Rightarrow \rho = { 3g \over 4 \pi RG } $
यदि किसी छोटे ग्रह का घनत्व पृथ्वी के घनत्व के समान है जबकि ग्रह की त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या की 0.2 गुना है, तो ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है ...............
$ g = { 4 \over 3 } \pi GR \rho \, and, g' = {4 \over 3 } \pi GR' \rho $ $ \therefore { g' \over g } = {R' \over R } = 0.2 \Rightarrow g' = 0.2 g $
माना g पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है तथा k पृथ्वी की घूर्णी गतिज ऊर्जा है। मान लीजिए पृथ्वी की त्रिज्या 2% घट जाती है तथा अन्य सभी राशियाँ समान रहती हैं, तो
$ g = { GM \over R^2 } $ तथा $ k = { L^2 \over 2I } $ यदि पृथ्वी का द्रव्यमान तथा उसका कोणीय संवेग नियत रहता है तो$ g \alpha { 1 \over R^2 } and \;k \alpha { 1 \over R^2 } $ अर्थात् यदि पृथ्वी की त्रिज्या 2% घटती है तो g तथा k दोनों 4% बढ़ जाते हैं
किसी वस्तु का भार अधिकतम होता है
यदि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण 'g' का मान $10ms^{–2}$ है। तो पृथ्वी के केंद्र पर, जिसे त्रिज्या 'R' मीटर तथा एकसमान घनत्व का गोला माना गया है, $ms^{–2}$ में उसका मान है
पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण (g) का मान शून्य होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि पृथ्वी के द्रव्यमान द्वारा सभी दिशाओं में लगाए गए गुरुत्वीय बल संतुलित हो जाते हैं, जिससे कोई नेट गुरुत्वीय बल नहीं रहता। अतः केंद्र पर गुरुत्व के कारण त्वरण शून्य है।
किसी गोलीय ग्रह का द्रव्यमान Mp तथा व्यास Dp है। इस ग्रह की सतह के निकट मुक्त रूप से गिरता हुआ द्रव्यमान m का कण गुरुत्व के कारण जो त्वरण अनुभव करेगा वह बराबर है
कण B पर गुरुत्वीय आकर्षण बल $ F_g = { GMp m \over (Dp /2 )^2 } $ गुरुत्व के कारण कण का त्वरण $ a = {Fg \over m } = { 4GMp \over Dp^2 } $
पृथ्वी का द्रव्यमान $6.00 \times 10^{24} kg $ तथा चंद्रमा का $7.40 \times 10^{22} kg $ है। गुरुत्वाकर्षण नियतांक$ G = 6.67 \tmies 10^{-11} Nm^2 kg^{–2}$। निकाय की स्थितिज ऊर्जा $ -7.79 \times 10^{28} Joules$ है। पृथ्वी तथा चंद्रमा के बीच औसत दूरी = मीटर।
$ U = - { GMm \over r } $ $ 7.79 \times 10^{28} = { 6.67 \times 10^{11} \times 7 \times 10^{22} \times 6 \times 10^{24} \over r } $ $ \therefore r = 3.8 \times 10^8 m $
पृथ्वी तथा चंद्रमा के द्रव्यमान तथा त्रिज्याएँ क्रमशः $M_1$, $R_1$ तथा $M_2$, $ R_2$
हैं। उनके केंद्र d दूरी पर हैं। द्रव्यमान m के कण को उनके केंद्रों के ठीक बीच के बिंदु से किस न्यूनतम वेग से प्रक्षेपित किया जाना चाहिए ताकि वह अनंत तक पलायन कर जाए...............
$ V = - { GM_1 \over d/2 } + -{GM_2 \over d/2 } $ $ Now P.E = mv = -{2 GM \over d} (m_1 + m_2 ) (m --> mass of particle) $ गतिज ऊर्जा = स्थितिज ऊर्जा $ \Rightarrow { 1 \over 2 } mv^2 = { 2GM \over d } (m_1 + m_2 ) $ $ \Rightarrow v = 2 \sqrt { G (M_1 + M_2 ) \over d } $
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