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एक रॉकेट वेग $10 kms^{-1}$ से प्रक्षेपित किया जाता है। यदि पृथ्वी की त्रिज्या R है तो उसके द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई होगी = ..............
यदि वस्तु को वेग $ \upsilon ( \upsilon \lt Ve ) $ से प्रक्षेपित किया जाए तो ऊँचाई $ h = { R \over { Ve^2 \over V^2} -1 }= { R \over \left( { 11.2 \over 10} \right)^2} =4 R (approx ) $ तक
m kg द्रव्यमान की एक वस्तु पृथ्वी की सतह से 2R ऊपर के बिंदु से गिरना प्रारंभ करती है। जब वह पृथ्वी की सतह से 'R' ऊपर के बिंदु तक गिर चुकी होती है तब उसकी गतिज ऊर्जा = ..................... [R - पृथ्वी की त्रिज्या, M- पृथ्वी का द्रव्यमान, G- गुरुत्वाकर्षण नियतांक]
$ P.E U = - { GMm \over r } = { GMm \over R+ h } $ $ U _ { initial } = - { GMm \over 3R } and U_{ final } = -{ GMm \over 2r } $ $ loss of P.E = gain in K.E = { GMm \over 2 R } - { GMm \over 3R } = { GMm \over 6R } $
द्रव्यमान m के किसी कण का पलायन वेग किस रूप में बदलता है
क्योंकि यह प्रक्षेप्य के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता
किसी ग्रह के चारों ओर वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह का आवर्तकाल स्वतंत्र होता है
वृत्ताकार कक्षा में किसी उपग्रह का आवर्तकाल (T) $T = 2 rac{ ext{ extpi}}{ u}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $ u$ कक्षीय वेग है। कक्षीय वेग के लिए संबंध $ u = rac{GM}{r}$ का उपयोग करके, हम $T = 2 ext{ extpi} rac{r^{3/2}}{ ext{ extpi} rac{GM}{r}}$ व्युत्पन्न करते हैं। यहाँ उपग्रह का आवर्तकाल कक्षा की त्रिज्या तथा ग्रह के द्रव्यमान पर निर्भर करता है, परंतु उपग्रह के द्रव्यमान पर नहीं। अतः उपग्रह का आवर्तकाल उपग्रह के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।
द्रव्यमान m वाले तथा पृथ्वी की सतह से $6.4 x 10^6$ m की ऊँचाई पर
घूमते हुए उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा
$ P.E = { GMm \over r } = - { GMm \over Re+h } = -{ GMm \over 2 Re } = - {g Re^2 m \over 2 Re } = - { 1 \over 2 } mg Re = 0.5 mg Re $
दो उपग्रह A तथा B किसी ग्रह के चारों ओर क्रमशः 4R तथा R त्रिज्या वाली वृत्ताकार कक्षाओं में घूमते हैं। यदि उपग्रह A की चाल 3v है, तो उपग्रह B की चाल है
वृत्ताकार कक्षाओं में उपग्रहों के लिए, कक्षीय चाल कक्षीय त्रिज्या के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है। यदि उपग्रह A की चाल 4R त्रिज्या पर 3v है, तो उपग्रह B की चाल, जिसकी त्रिज्या R है, इस प्रकार ज्ञात की जा सकती है:
$$v_B = v_A imes rac{ ext{sqrt}(R_A)}{ ext{sqrt}(R_B)} = 3v imes rac{ ext{sqrt}(4R)}{ ext{sqrt}(R)} = 3v imes 2 = 6v.$$
अतः उपग्रह B की चाल 6v है।
दीर्घवृत्तीय कक्षा में गति करता हुआ एक ग्रह सूर्य के निकटतम दूरी $r_1$ पर तथा सबसे दूर दूरी $r_2$ पर होता है। यदि इन बिंदुओं पर रैखिक वेग क्रमशः $v_1$ तथा $v_2$ हैं, तो अनुपात ${ \upsilon_1 \over \upsilon_2 } $ है
$ v_1 r_1 = v_2 r_2 $ (कोणीय संवेग नियत है)
द्रव्यमान m का एक उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर नियत कोणीय वेग से चक्कर लगा रहा है। यदि कक्षा की त्रिज्या Ro है तथा पृथ्वी का द्रव्यमान M है, तो पृथ्वी के केंद्र के परितः कोणीय संवेग है
कोणीय संवेग = $ Mass \times orbital velocity \times Radius$ $ = m \times \sqrt { GM \over R_o } \times R_o$ $ = m \sqrt {GMR_o }$
रोहित त्रिज्या R का अर्धवृत्ताकार पथ 10 सेकंड में पूरा करता है। $ms^{–1}$ में औसत चाल तथा औसत वेग की गणना कीजिए।
रोहित द्वारा त्रिज्या R का अर्धवृत्ताकार पथ 10 सेकंड में पूरा करने पर औसत चाल तथा औसत वेग की गणना करने के लिए, हम औसत चाल से प्रारंभ करते हैं। औसत चाल कुल तय की गई दूरी को कुल लिए गए समय से भाग देने पर प्राप्त होती है। अर्धवृत्त के लिए दूरी पूर्ण वृत्त की परिधि की आधी होती है, जो $ rac{1}{2} imes 2 ext{Ï€}R = ext{Ï€}R$ है। अतः औसत चाल $$ ext{Average speed} = rac{ ext{Ï€}R}{10}.$$ है। औसत वेग के लिए, हम अर्धवृत्त के प्रारंभ से अंत तक का सरल रेखीय विस्थापन लेते हैं, जो वृत्त का व्यास अर्थात् $2R$ है। अतः औसत वेग $$ ext{Average velocity} = rac{2R}{10}.$$ है। यह विकल्प 'o3' से मेल खाता है।
एक वस्तु सरल रेखा में गति करती है। वह विरामावस्था से प्रारंभ होती है तथा उसका त्वरण $2ms^{–2}$ है। एक निश्चित बिंदु पर पहुँचने के बाद वह मूल बिंदु पर वापस आ जाती है। इस गति में उसका त्वरण $ -3ms^{-2} $ है। जब तक वह विरामावस्था में नहीं आ जाती। गति के लिए कुल लिया गया समय 5 सेकंड है। अधिकतम वेग की गणना कीजिए।
यदि अधिकतम वेग V है $ V = a_1 t_1 \,and\, V =a_2 t_2 $ $ T = t _1 + t_2 = { v \over a_1 } + { v \over a_2 } $ $ V = { a_1 a_2 T \over a_1 + a_2 } $
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