NEET प्रश्न (MCQ) हिंदी में — उत्तर और विस्तृत हल सहित

इस समस्या के लिए गति के गतिकी समीकरण आवश्यक हैं। 

माना u तथा v  कण के प्रारंभिक तथा अंतिम वेग हैं तथा a एवं s उसके नियत त्वरण एवं तय की गई दूरी हैं। 

गति के तीसरे समीकरण से 

  $$\begin{gathered} v^2=u^2+2as \\ \Rightarrow {\left(20\right)}^2={\left(10\right)}^2+ 2a\times 135 \\ or a=\frac{300}{2\times 135}=\frac{10}{9}m{s}^{-2} \end{gathered}$$

अब गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,

  v=u+ at

अथवा  t=$\frac{v-u}{a}=\frac{20-10}{\left(10/9\right)}=\frac{10\times 9}{10}=9s$

दिया है कि $\frac{dv}{dt}=4-2v$

dv=(4-2v)dt    अथवा  $\frac{dv}{4-2v}=dt$

अथवा $dv={}_0{}^v\int \frac{dv}{4-2v}={}_0{}^t\int dt$  अथवा  ${\left[\frac{{\log }_e(4-2v)}{-2}\right]}_0^v ={\left[t\right]}_0^t$

अथवा  ${\log }_{\mathrm{e}}\left\{4-2\left.\mathrm{v}\right\}\right.-{\log }_{\mathrm{e}}\left(4\right)=-2\mathrm{t}$   अथवा  ${\log }_e\left\{\frac{4}{4}\right.-\left.\frac{2v}{4}\right\}=-2t$

$\Rightarrow \frac{4-2v}{4}=e^{-2t} \Rightarrow \frac{4}{4}-\frac{2v}{4}=e^{-2t} \Rightarrow 1-\frac{2v}{4}=e^{-2t}$

$\Rightarrow \frac{2v}{4}=1-e^{-2t}$  अथवा  $=2(1-e^{-2t})$

 $$\begin{gathered} \mathrm{Let} \mathrm{time} \mathrm{to} \mathrm{reach} \mathrm{P} \mathrm{from} \mathrm{A} \mathrm{be} \mathrm{t} \\ \mathrm{H}=\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2 \\ \mathrm{t}=\sqrt{\frac{2\mathrm{H}}{\mathrm{g}}} \\ \mathrm{Time} \mathrm{to} \mathrm{reach} \mathrm{C} \mathrm{from} \mathrm{P} \mathrm{be} \mathrm{t}\text{'} \\ \frac{\mathrm{H}}{2}=\frac{1}{2}\mathrm{g}{\left(\mathrm{t}\text{'}\right)}^2 \\ \mathrm{t}\text{'}=\sqrt{\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{g}}}= \sqrt{\frac{2\mathrm{H}}{2\mathrm{g}}}= \frac{\mathrm{t}}{\sqrt{2}} \\ \mathrm{So} \mathrm{total} \mathrm{time} \mathrm{to} \mathrm{go} \mathrm{from} \mathrm{A} \mathrm{to} \mathrm{C} \\ \mathrm{t}+\mathrm{t}\text{'}= \mathrm{t}+\frac{\mathrm{t}}{\sqrt{2}} \\ = \mathrm{t} \left[1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{u}=u\cos \theta \hat{i}+u\sin \theta \hat{j} \\ After time t: \\ \overrightarrow{v}=u\cos \theta \hat{i}+\left(u\sin \theta -gt\right)\hat{j} \\ Change in velocity, ∆\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}=u\cos \theta \hat{i}+\left(u\sin \theta -gt\right)\hat{j}-\left(u\cos \theta \hat{i}+u\sin \theta \hat{j}\right) \\ \Rightarrow ∆\overrightarrow{v}=\left(-gt\right)\hat{j} \\ \Rightarrow \left|∆\overrightarrow{v}\right|=\left(gt\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Time of flight=\frac{2u_y}{g} \\ \frac{T_1}{T_2}=\frac{u_{y,1}}{u_{y,2}}=\frac{10}{10}=1 \end{gathered}$$

${\omega }^{2}r=4{\pi }^2{n}^{2}r$ = $4{\pi }^2{\left(\frac{{\displaystyle 1200}}{{\displaystyle 60}}\right)}^2\times \frac{30}{100}=4740m/s^2$ 

दोनों कारें (माना A तथा B) समान वेग से गति कर रही हैं, एक (माना B) का दूसरी के सापेक्ष वेग $A,\text{\hspace{0.17em}}{\overrightarrow{v}}_{BA}={\overrightarrow{v}}_B-{\overrightarrow{v}}_A=v-v=0$

अतः उनके बीच सापेक्ष पृथकन (= 5 km) सदैव समान रहता है।

अब यदि A तथा B के विपरीत दिशा में गति कर रही कार (माना C) का वेग, भूमि के सापेक्ष ${\overrightarrow{v}}_C$ है तो कार C का A तथा B के सापेक्ष वेग ${\overrightarrow{v}}_{rel.}={\overrightarrow{v}}_C-\overrightarrow{v}$ होगा

परंतु चूँकि $\overrightarrow{v}$, v_C के विपरीत है

अतः $v_{rel}=v_c-(-30)=(v_C+30)km\text{}/\text{}hr.$

अतः, उसके द्वारा कारों A तथा B को पार करने में लगा समय $t=\frac{d}{v_{rel}}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\Rightarrow \frac{4}{60}=\frac{5}{v_C+30}$

$\Rightarrow v_C=45km/hr.$

(c) दिया है, x=5t-2$t^2$

x-दिशा में कण का वेग,

   $v_x=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\left(5t-2t^2\right)=5-4t$

त्वरण, $a_x=\frac{d{v}_x}{dt}=-4 m{s}^{-2}$

y-दिशा में कण का वेग,

$$\begin{gathered} v_y=\frac{dy}{dt}=10 \\ \therefore Acceleration a_y=\frac{d{v}_y}{dt}=0 \\ \therefore Net acceleration of the particle , \\ {\overrightarrow{a}}_{net}=a_x\hat{i}+a_y\hat{j}=\left(-4m{s}^2\right)\hat{i} \end{gathered}$$

अथवा   $a_{net}=-4 m{s}^{-2}$

औसत त्वरण $=\frac{\mathrm{Change} \mathrm{in} \mathrm{velocity}}{\mathrm{Total} \mathrm{time}}$

  $$\begin{gathered} \mathrm{a}=\frac{|{\mathrm{v}}_{\mathrm{f}}-{\mathrm{v}}_{\mathrm{i}}|}{∆\mathrm{t}}=\frac{|40\mathrm{j}-30\mathrm{i}|}{∆\mathrm{t}} \\ =\frac{\sqrt{{40}^2+{30}^2}}{10}=\frac{\sqrt{1600+900}}{10} \\ = 5 {\mathrm{ms}}^{-2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x=2t^3+3t+4\Rightarrow V_x\frac{dx}{dt}=6t^2+3 \\ \Rightarrow a_x=\frac{d{V}_x}{dt}=12t \\ y=t^2+4t-1\Rightarrow V_y=2t+4 \\ \Rightarrow a_y=\frac{d{V}_y}{dt}=2 \\ z=2\mathrm{sin\pi }t\Rightarrow V_z=\frac{dz}{dt}=2\mathrm{\pi cos\pi t} \\ \Rightarrow {\mathrm{a}}_{\mathrm{z}}=\frac{{\mathrm{dV}}_{\mathrm{y}}}{\mathrm{dt}}=-2{\mathrm{\pi }}^2\sin \mathrm{\pi t} \\ \Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{a}}={\mathrm{a}}_{\mathrm{x}}\hat{\mathrm{i}}+{\mathrm{a}}_{\mathrm{y}}\hat{\mathrm{j}}+{\mathrm{a}}_{\mathrm{z}}\hat{\mathrm{k}} \\ =12\mathrm{t}\hat{\mathrm{i}}+2\hat{\mathrm{j}}-2{\mathrm{\pi }}^2\mathrm{sin\pi t}\hat{\mathrm{k}} \\ \mathrm{at} \mathrm{t}=3 \sec , \overrightarrow{\mathrm{a}}=(12\times 3)\hat{\mathrm{i}}+2\hat{\mathrm{j}}-2{\mathrm{\pi }}^2\sin 3\mathrm{\pi }\hat{\mathrm{k}} \\ =36\hat{\mathrm{i}}+2\hat{\mathrm{j}} \end{gathered}$$