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द्रव्यमान m का एक उपग्रह पृथ्वी की सतह के निकट (त्रिज्या R = 6400 km) परिक्रमा कर रहा है, जिसकी गतिज ऊर्जा K है। पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बचने के लिए उपग्रह की संगत गतिज ऊर्जा है
$ k = { GMm \over 2R }$
एक भूस्थैतिक उपग्रह पृथ्वी की सतह से 5 R ऊँचाई पर पृथ्वी की परिक्रमा कर रहा है। R पृथ्वी की त्रिज्या है। पृथ्वी की सतह से 2R ऊँचाई पर किसी अन्य उपग्रह का आवर्तकाल घंटों में है
$ { T_1^2 \over T_2^2 } = { R_1^3 \over R_2^3 } = { (6R)^3 \over (3R)^3 } = 8 $ $ \therefore T_2^2 = { 24 \times 24 \over 8 } = 72 $ $ \therefore T_2 = 6 \sqrt 2 $
R त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में एक उपग्रह का आवर्तकाल T है। 4R त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में दूसरे उपग्रह का आवर्तकाल है
$ {T_1 \over T_2 } = \left( {R_1 \over R_2 } \right)^{3/2} = \left( R \over 4R ) \right) ^{3/2} $ $ \therefore T_2 = 8T_1 $
केप्लर का दूसरा नियम जो किसी ग्रह के क्षेत्रीय वेग की स्थिरता से संबंधित है, वह किस संरक्षण नियम का परिणाम है?
$ { dA \over dt} = { L \over 2m } = constant $
बृहस्पति की कक्षीय चाल है
बृहस्पति की कक्षीय त्रिज्या > पृथ्वी की कक्षीय त्रिज्या $ {V_ J \over V_e } = { \gamma _e \over \gamma_j } $ चूँकि $ r_j \lt r_e$ अतः $ V_j \lt Ve $
ग्रह A का सूर्य के चारों ओर परिक्रमण का आवर्तकाल ग्रह B से 8 गुना है। A की सूर्य से दूरी, B की सूर्य से दूरी से कितनी गुना अधिक है।
$ {T_A \over T_B } = \left( {r_A \over r_B } \right)^{3/2} \Rightarrow 8 = \left( {4_A \over 4_B} \right) ^{3/2} \Rightarrow r_A = 4_B (8)^{3/2} = 4r_B $
पृथ्वी सूर्य के चारों ओर एक वर्ष में चक्कर लगाती है। यदि उनके बीच की दूरी दोगुनी हो जाए, तो नया आवर्तकाल ……….. वर्ष होगा।
$ {T_2 \over T_1} = \left( { r_2 \over r_1} \right) ^{3/2} = (2) ^{3/2} = 2 \sqrt 2 \Rightarrow T_2 = 2 \sqrt 2 years $
यदि किसी ग्रह का वेग $ \upsilon = G^a M^b R^c $ द्वारा दिया जाता है, तो
$ \upsilon = \sqrt { GM \over R } = G^{1/2 } M^{1/2} R^{-1/2} $
केंद्रीय बल के क्षेत्र में क्या नहीं बदलता है
केंद्रीय बल के लिए बलाघूर्ण शून्य है $ \therefore \tau = { dL \over dt } = 0 \Rightarrow L = constant $
मान लीजिए गुरुत्वाकर्षण बल दूरी की nवीं घात के व्युत्क्रमानुपाती होता है, तो सूर्य के चारों ओर त्रिज्या R के वृत्ताकार कक्षा में ग्रह का आवर्तकाल किसके अनुक्रमानुपाती होगा?
$ m \omega ^2 R \alpha {1 \over R^n } \Rightarrow m \left( {4 \pi ^2 \over T^2} \right) $ $ R \alpha {1 \over R^n } \Rightarrow T^2 \alpha R^{n+1 } $ $ \therefore T \alpha R^ { n+1 \over 2 } $
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