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एक उपग्रह जिसकी गतिज ऊर्जा $E_k$ है, पृथ्वी के चारों ओर वृत्ताकार कक्षा में घूम रहा है। इसे कितनी अतिरिक्त गतिज ऊर्जा दी जानी चाहिए ताकि यह बाह्य अंतरिक्ष में पलायन कर सके?
बंधन ऊर्जा = -गतिज ऊर्जा और यदि उपग्रह को यह ऊर्जा (Ek) दी जाए तो यह बाह्य अंतरिक्ष में पलायन कर जाएगा।
एक उपग्रह में कुर्सी पर बैठा व्यक्ति भारहीनता महसूस करता है क्योंकि
$ {V_B \over V_A } = \sqrt { \gamma_A \over \gamma_B } = \sqrt { 4R \over R } = 2 $
रॉकेट पूर्व दिशा में प्रक्षेपित किए जाते हैं ताकि लाभ उठाया जा सके
क्योंकि पृथ्वी का घूर्णन पश्चिम से पूर्व दिशा में होता है
द्रव्यमान m का एक उपग्रह पृथ्वी की सतह के निकट (त्रिज्या R = 6400 km) परिक्रमा कर रहा है, जिसकी गतिज ऊर्जा K है। पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बचने के लिए उपग्रह की संगत गतिज ऊर्जा है
$ k = { GMm \over 2R }$
एक भूस्थैतिक उपग्रह पृथ्वी की सतह से 5 R ऊँचाई पर पृथ्वी की परिक्रमा कर रहा है। R पृथ्वी की त्रिज्या है। पृथ्वी की सतह से 2R ऊँचाई पर किसी अन्य उपग्रह का आवर्तकाल घंटों में है
$ { T_1^2 \over T_2^2 } = { R_1^3 \over R_2^3 } = { (6R)^3 \over (3R)^3 } = 8 $ $ \therefore T_2^2 = { 24 \times 24 \over 8 } = 72 $ $ \therefore T_2 = 6 \sqrt 2 $
R त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में एक उपग्रह का आवर्तकाल T है। 4R त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में दूसरे उपग्रह का आवर्तकाल है
$ {T_1 \over T_2 } = \left( {R_1 \over R_2 } \right)^{3/2} = \left( R \over 4R ) \right) ^{3/2} $ $ \therefore T_2 = 8T_1 $
केप्लर का दूसरा नियम जो किसी ग्रह के क्षेत्रीय वेग की स्थिरता से संबंधित है, वह किस संरक्षण नियम का परिणाम है?
$ { dA \over dt} = { L \over 2m } = constant $
बृहस्पति की कक्षीय चाल है
बृहस्पति की कक्षीय त्रिज्या > पृथ्वी की कक्षीय त्रिज्या $ {V_ J \over V_e } = { \gamma _e \over \gamma_j } $ चूँकि $ r_j \lt r_e$ अतः $ V_j \lt Ve $
ग्रह A का सूर्य के चारों ओर परिक्रमण का आवर्तकाल ग्रह B से 8 गुना है। A की सूर्य से दूरी, B की सूर्य से दूरी से कितनी गुना अधिक है।
$ {T_A \over T_B } = \left( {r_A \over r_B } \right)^{3/2} \Rightarrow 8 = \left( {4_A \over 4_B} \right) ^{3/2} \Rightarrow r_A = 4_B (8)^{3/2} = 4r_B $
पृथ्वी सूर्य के चारों ओर एक वर्ष में चक्कर लगाती है। यदि उनके बीच की दूरी दोगुनी हो जाए, तो नया आवर्तकाल ……….. वर्ष होगा।
$ {T_2 \over T_1} = \left( { r_2 \over r_1} \right) ^{3/2} = (2) ^{3/2} = 2 \sqrt 2 \Rightarrow T_2 = 2 \sqrt 2 years $
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