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यदि किसी ग्रह का वेग $ \upsilon = G^a M^b R^c $ द्वारा दिया जाता है, तो
$ \upsilon = \sqrt { GM \over R } = G^{1/2 } M^{1/2} R^{-1/2} $
केंद्रीय बल के क्षेत्र में क्या नहीं बदलता है
केंद्रीय बल के लिए बलाघूर्ण शून्य है $ \therefore \tau = { dL \over dt } = 0 \Rightarrow L = constant $
मान लीजिए गुरुत्वाकर्षण बल दूरी की nवीं घात के व्युत्क्रमानुपाती होता है, तो सूर्य के चारों ओर त्रिज्या R के वृत्ताकार कक्षा में ग्रह का आवर्तकाल किसके अनुक्रमानुपाती होगा?
$ m \omega ^2 R \alpha {1 \over R^n } \Rightarrow m \left( {4 \pi ^2 \over T^2} \right) $ $ R \alpha {1 \over R^n } \Rightarrow T^2 \alpha R^{n+1 } $ $ \therefore T \alpha R^ { n+1 \over 2 } $
यदि पृथ्वी की त्रिज्या 1% सिकुड़ जाए, जबकि इसका द्रव्यमान समान रहे, तो पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण होगा:
$ g = { GM \over R^2 } $ यदि द्रव्यमान स्थिर रहता है तो $ \rho \alpha {1 \over R^2 } $
दो उपग्रह A और B एक ग्रह p के चारों ओर वृत्ताकार कक्षाओं में घूमते हैं जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः 4R और R हैं। यदि उपग्रह A की चाल 3V है, तो उपग्रह B की चाल होगी
$ \upsilon = \sqrt { GM \over R } \Rightarrow { V_A \over V_B} = \sqrt { R_E \over R_A } = \sqrt { R \over 4R } = { 1 \over 2 } $ $ \therefore { V_A \over V_B } = {3V \over VA } $ $ V_E = 6V $
द्रव्यमान m के एक उपग्रह को, जो द्रव्यमान M के एक ग्रह के चारों ओर चक्कर लगा रहा है, को त्रिज्या R1 की एक वृत्ताकार कक्षा से दूसरी त्रिज्या R2 (R2 > R1) में स्थानांतरित करने के लिए प्रदान की जाने वाली अतिरिक्त K.E. है
$ - { GMm \over 2 R_1} + K.E = -{GMm \over 2R_2} $ $ K.E = { GMm \over 2 } \left( {1 \over R_1} - {1 \over R_2 } \right) $
पृथ्वी के चारों ओर चक्कर लगा रहे कृत्रिम उपग्रह में एक अंतरिक्ष यात्री का भार होता है
पृथ्वी के चारों ओर चक्कर लगा रहे कृत्रिम उपग्रह में एक अंतरिक्ष यात्री का भार शून्य होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अंतरिक्ष यात्री और उपग्रह दोनों पृथ्वी की ओर मुक्त पतन में होते हैं, जो आभासी भारहीनता की स्थिति उत्पन्न करता है। गुरुत्वाकर्षण बल उपग्रह को कक्षा में बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्रीय बल प्रदान करता है, लेकिन चूंकि अंतरिक्ष यात्री भी मुक्त पतन में है, वे इस बल को भार के रूप में अनुभव नहीं करते हैं।
m1 और m2 द्रव्यमानों के दो पिंड प्रारंभ में अनंत दूरी पर विरामावस्था में हैं। फिर उन्हें पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के अंतर्गत एक-दूसरे की ओर गति करने दिया जाता है। उनके बीच पृथक्करण दूरी r पर उनका आपेक्षिक वेग है
माना एक-दूसरे से r दूरी पर इन द्रव्यमानों के वेग क्रमशः v1 और v2 हैं। संवेग संरक्षण द्वारा $ m_1 V_1 - m_2 V_2 = 0 \Rightarrow m_1 V_1 = m_2 V_2 $....(i) ऊर्जा संरक्षण द्वारा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $ {Gm_1 m_2 \over r } = { 1 \over 2 } m_1 V_1^2 + {1 \over 2 } m_2 V_2^2 $ $ \Rightarrow {m_1 V_1^2 \over m_1 } + { m_2 V_2^2 \over m_2 } = {2 Gm_1 m_2 \over r } $...(ii) (i) और (ii) को हल करने पर $ \upsilon_1 = \sqrt {2Gm_2^2 \over r (m_1 + m_2 } $ और $ \upsilon_2 = \sqrt {2Gm_1^2 \over r (m_1 + m_2 } $ $ Vapp = |V_1| + |V_2| = \sqrt { 2G (m_1 + m_2) \over r } $
चंद्रमा का पृथ्वी के चारों ओर घूर्णन का आवर्तकाल लगभग 29 दिन है। यदि चंद्रमा का द्रव्यमान इसके वर्तमान मान का दोगुना हो और अन्य सभी चीजें अपरिवर्तित रहें, तो चंद्रमा के घूर्णन का आवर्तकाल लगभग दिन होगा।
आवर्तकाल उपग्रह के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
पृथ्वी की सूर्य से अधिकतम और न्यूनतम दूरियाँ $r_1$ और $r_2$ हैं सूर्य से खींचे गए कक्षा के दीर्घ अक्ष पर लंबवत स्थिति में इसकी सूर्य से दूरी
पृथ्वी सूर्य के चारों ओर दीर्घवृत्तीय पथ पर घूमती है, अतः दीर्घवृत्त के गुणों का उपयोग करके $ r_1 = (1+e ) a \,and \,r^2 = (1-e) r_2 , a = {r_1 + r_2 \over 2 } $ $ \Rightarrow r_1 r_2 = ( 1 -e^2 )a^2 $ जहाँ a= दीर्घ अर्ध-अक्ष b= लघु अर्ध-अक्ष e= उत्केंद्रता अब अभीष्ट दूरी = अर्ध-नाभिलंब = $b^2/9$ $ = a^2 {(1-e^2) \over a } = { r_1 r_2 \over (r_1+r_2) /2 } = { 2r_1r_2 \over r_1 +r_2 } $
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