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द्रव्यमान m वाले तथा पृथ्वी की सतह से $6.4 x 10^6$ m की ऊँचाई पर
घूमते हुए उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा
$ P.E = { GMm \over r } = - { GMm \over Re+h } = -{ GMm \over 2 Re } = - {g Re^2 m \over 2 Re } = - { 1 \over 2 } mg Re = 0.5 mg Re $
दो उपग्रह A तथा B किसी ग्रह के चारों ओर क्रमशः 4R तथा R त्रिज्या वाली वृत्ताकार कक्षाओं में घूमते हैं। यदि उपग्रह A की चाल 3v है, तो उपग्रह B की चाल है
वृत्ताकार कक्षाओं में उपग्रहों के लिए, कक्षीय चाल कक्षीय त्रिज्या के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है। यदि उपग्रह A की चाल 4R त्रिज्या पर 3v है, तो उपग्रह B की चाल, जिसकी त्रिज्या R है, इस प्रकार ज्ञात की जा सकती है:
$$v_B = v_A imes rac{ ext{sqrt}(R_A)}{ ext{sqrt}(R_B)} = 3v imes rac{ ext{sqrt}(4R)}{ ext{sqrt}(R)} = 3v imes 2 = 6v.$$
अतः उपग्रह B की चाल 6v है।
दीर्घवृत्तीय कक्षा में गति करता हुआ एक ग्रह सूर्य के निकटतम दूरी $r_1$ पर तथा सबसे दूर दूरी $r_2$ पर होता है। यदि इन बिंदुओं पर रैखिक वेग क्रमशः $v_1$ तथा $v_2$ हैं, तो अनुपात ${ \upsilon_1 \over \upsilon_2 } $ है
$ v_1 r_1 = v_2 r_2 $ (कोणीय संवेग नियत है)
द्रव्यमान m का एक उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर नियत कोणीय वेग से चक्कर लगा रहा है। यदि कक्षा की त्रिज्या Ro है तथा पृथ्वी का द्रव्यमान M है, तो पृथ्वी के केंद्र के परितः कोणीय संवेग है
कोणीय संवेग = $ Mass \times orbital velocity \times Radius$ $ = m \times \sqrt { GM \over R_o } \times R_o$ $ = m \sqrt {GMR_o }$
रोहित त्रिज्या R का अर्धवृत्ताकार पथ 10 सेकंड में पूरा करता है। $ms^{–1}$ में औसत चाल तथा औसत वेग की गणना कीजिए।
रोहित द्वारा त्रिज्या R का अर्धवृत्ताकार पथ 10 सेकंड में पूरा करने पर औसत चाल तथा औसत वेग की गणना करने के लिए, हम औसत चाल से प्रारंभ करते हैं। औसत चाल कुल तय की गई दूरी को कुल लिए गए समय से भाग देने पर प्राप्त होती है। अर्धवृत्त के लिए दूरी पूर्ण वृत्त की परिधि की आधी होती है, जो $ rac{1}{2} imes 2 ext{Ï€}R = ext{Ï€}R$ है। अतः औसत चाल $$ ext{Average speed} = rac{ ext{Ï€}R}{10}.$$ है। औसत वेग के लिए, हम अर्धवृत्त के प्रारंभ से अंत तक का सरल रेखीय विस्थापन लेते हैं, जो वृत्त का व्यास अर्थात् $2R$ है। अतः औसत वेग $$ ext{Average velocity} = rac{2R}{10}.$$ है। यह विकल्प 'o3' से मेल खाता है।
एक वस्तु सरल रेखा में गति करती है। वह विरामावस्था से प्रारंभ होती है तथा उसका त्वरण $2ms^{–2}$ है। एक निश्चित बिंदु पर पहुँचने के बाद वह मूल बिंदु पर वापस आ जाती है। इस गति में उसका त्वरण $ -3ms^{-2} $ है। जब तक वह विरामावस्था में नहीं आ जाती। गति के लिए कुल लिया गया समय 5 सेकंड है। अधिकतम वेग की गणना कीजिए।
यदि अधिकतम वेग V है $ V = a_1 t_1 \,and\, V =a_2 t_2 $ $ T = t _1 + t_2 = { v \over a_1 } + { v \over a_2 } $ $ V = { a_1 a_2 T \over a_1 + a_2 } $
एक मालगाड़ी नियत त्वरण से चल रही है। जब इंजन किसी सिग्नल से गुजरता है तो उसकी चाल U होती है। गाड़ी का मध्य बिंदु सिग्नल से चाल V से गुजरता है। अंतिम डिब्बे की चाल क्या होगी ?
नियत त्वरण से चलती हुई गाड़ी के लिए, अंतिम डिब्बे की चाल गति के समीकरणों से ज्ञात की जा सकती है। दिया है कि सिग्नल से गुजरते समय इंजन की चाल U है तथा मध्य बिंदु पर चाल V है, हम इन चालों के बीच संबंध का उपयोग करके अंतिम डिब्बे की चाल ज्ञात कर सकते हैं। सही सूत्र $ ext{speed} = \\sqrt{2V^2 - U^2} $ है, जो विकल्प o4 से मेल खाता है।
$ \vec P and \vec Q $ बराबर सदिश हैं। निम्नलिखित में से क्या सत्य है।
यदि दो सदिश $ \\vec{P} and \\vec{Q} $ बराबर हैं, तो इसका अर्थ है कि उनका परिमाण तथा दिशा दोनों समान हैं। अतः $ \\vec{P} and \\vec{Q} $ एक-दूसरे के समांतर हैं।
$ \vec A and \vec B $ विपरीत दिशा में हैं अतः वे हैं
जब दो सदिश \( \vec{A} \) तथा \( \vec{B} \) विपरीत दिशाओं में होते हैं, तो उन्हें प्रतिसमांतर सदिश कहा जाता है। प्रतिसमांतर सदिशों का परिमाण समान होता है परंतु दिशाएँ विपरीत होती हैं। यह समांतर सदिशों से भिन्न है, जिनकी दिशा समान होती है।
$ \vec P and \vec Q $ का योग उनके अंतर के समकोण पर है तो
दिया है कि सदिशों $\vec{P}$ तथा $\vec{Q}$ का योग उनके अंतर के समकोण पर है, अतः हमारे पास है:
$\vec{P} + \vec{Q} \perp \vec{P} - \vec{Q}$।
इसका अर्थ है कि उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$(\vec{P} + \vec{Q}) \cdot (\vec{P} - \vec{Q}) = 0$।
इसका प्रसार करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\vec{P} \cdot \vec{P} - \vec{P} \cdot \vec{Q} + \vec{Q} \cdot \vec{P} - \vec{Q} \cdot \vec{Q} = 0$।
सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$P^2 - Q^2 = 0$, अथवा $P^2 = Q^2$।
अतः $P = Q$, जो $A = B$ से मेल खाता है।
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