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पृथ्वी की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग Ve है। पृथ्वी की सतह से 7 R ऊँचाई से उसी पिंड का पलायन वेग होगा
$ Ve \alpha { 1\over \sqrt r } $ $ { V_1 \over V_2 } = \sqrt{ r_2 \over r_1 } = \sqrt { R+7R \over R } = 2 \sqrt 2 \Rightarrow V_2 = { V_1 \over 2 \sqrt 2 } $
एक कृत्रिम उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर एक वृत्ताकार कक्षा में घूम रहा है। इसका वेग पलायन वेग का आधा है। पृथ्वी की सतह से इसकी ऊँचाई = km है।
$ v = \sqrt { GM \over R+ h } = {1 \over 2 } \sqrt { 2GM \over R } $ $ \therefore 4R = 2 (R+h )$ $ \therefore h = R = 6400 km$
एक ग्रह का पलायन वेग, जिसका द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान का 6 गुना और त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या का 2 गुना है, .......... है।
$ { V_p \over V_e } = \sqrt {Mp \over Me} \times { Re \over Rp } = \sqrt { 6 \times {1 \over 2 } } = \sqrt 3 $ $ \therefore Ve = \sqrt 3 Ve $
गोलीय कोश के केंद्र पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता क्या है?
गोलीय कोश के अंदर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता शून्य होती है। इसे कोश प्रमेय लागू करके समझा जा सकता है, जो बताता है कि द्रव्यमान का एक एकसमान गोलीय कोश उसके अंदर स्थित कण पर कोई कुल गुरुत्वाकर्षण बल नहीं लगाता है। अतः, गोलीय कोश के केंद्र पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता शून्य है।
दो ग्रह हैं, दोनों ग्रहों की त्रिज्या का अनुपात k है लेकिन दोनों ग्रहों का गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण g है। उनके पलायन वेग का अनुपात क्या होगा।
$ \upsilon = \sqrt{2gR} \therefore {V1 \over V2 } = \sqrt {g1 \over g2 } .{R1\over R2} = \sqrt {gk} = (kg)^ {1/2} $
पृथ्वी की सतह पर किसी पिंड का पलायन वेग 11.2 km/sec है। यदि पृथ्वी का द्रव्यमान बढ़ाकर इसके वर्तमान मान का दोगुना कर दिया जाए और पृथ्वी की त्रिज्या आधी हो जाए, तो पलायन वेग = _________ $kms^{–1}$ हो जाता है।
$ \therefore Ve = \sqrt {2GM \over R } \therefore Ve \alpha \sqrt { M \over R } $ यदि M दोगुना हो जाए और R आधा हो जाए तो पलायन वेग दोगुना हो जाता है।
वह वेग जिससे किसी प्रक्षेप्य को दागा जाना चाहिए ताकि वह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण से बच निकले, .................. पर निर्भर नहीं करता है।
पलायन वेग प्रक्षेपण कोण पर निर्भर नहीं करता है।
एक ग्रह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण पृथ्वी के समान है और इसकी त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या से चार गुनी है। उस ग्रह पर पलायन वेग का मान क्या होगा, यदि पृथ्वी पर यह Ve है?
$ \upsilon = \sqrt {2gR } \Rightarrow {V_p \over V_e } = \sqrt { { g_p \over g_e } . {Rp \over Re} } = \sqrt { 1 \times 4 } = 2 $ Ve = 2 Ve
द्रव्यमान M का एक कण समान द्रव्यमान और त्रिज्या a के एक गोलीय कोश के केंद्र पर स्थित है। केंद्र से a/2 दूरी पर स्थित एक बिंदु पर गुरुत्वीय विभव का परिमाण होगा।
Vp = Vगोलीय कोश + Vकण $ = { GM \over a } + { GM \over a / 2 } = { 3GM \over a } $
पृथ्वी से, जिसका द्रव्यमान M और त्रिज्या R है, m द्रव्यमान के एक गोले का पलायन वेग द्वारा दिया जाता है
पलायन वेग प्रक्षेप्य के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता
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