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पृथ्वी के ध्रुव पर कितनी ऊँचाई पर मुक्त पतन त्वरण एक प्रतिशत कम हो जाता है = .................. km (Re = 6400 km).
$ g \alpha { GM \over r^2 } $ $ \therefore g \alpha { 1 \over r^2 } $ या $r \alpha { 1 \over \sqrt g }$ यदि g एक प्रतिशत कम होता है तो r को 1/2% बढ़ना चाहिए अर्थात $ R = {1 \over 2 \times 100 } \times 6400 = 32 km $
पृथ्वी से किसी वस्तु का पलायन वेग पृथ्वी के द्रव्यमान (M), उसके माध्य घनत्व $(\rho)$, उसकी त्रिज्या (R) और गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक (G) पर निर्भर करता है, इस प्रकार पलायन वेग का सूत्र है
पलायन वेग ( u) को गुरुत्वाकर्षण बल और पलायन के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा के बीच संबंध से व्युत्पन्न किया जा सकता है। पृथ्वी के द्रव्यमान (M), उसके माध्य घनत्व (\rho), उसकी त्रिज्या (R), और गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक (G) को देखते हुए, सूत्र है $ v = R \\sqrt{\\frac{8 \\pi}{3} G \\rho} $। यह सूत्र मानक पलायन वेग सूत्र और घनत्व, द्रव्यमान और आयतन के बीच संबंध से व्युत्पन्न किया गया है।
दो छोटे और भारी गोले, प्रत्येक का द्रव्यमान M, एक क्षैतिज सतह पर r दूरी पर रखे गए हैं। उनके केंद्रों को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण विभव है:
A का गुरुत्वाकर्षण विभव 0 पर = $ - { GM \over r/2 } = - { 2GM \over r } $
B का 0 पर = $ - { GM \over r/2 } = - { 2GM \over r } $ 0 पर कुल विभव = $- { 4GM \over r } $
10g द्रव्यमान का एक कण 100 kg द्रव्यमान और 10 cm त्रिज्या वाले एकसमान गोले की सतह पर रखा है। कण को गोले से दूर ले जाने के लिए उनके बीच गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध किए जाने वाले कार्य को ज्ञात कीजिए $(G = 6.67 \times 10^{-11} SI unit)$
दो द्रव्यमानों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $ U = - { GMm \over R } = { -6.67 \times 10^{-11} \times 100 \times 10 \times 10^{-3 } \over 10 \times 10^{-2} }= 6.67 \times 10^{-10 } J $ अतः, कण को अनंत तक ले जाने के लिए किया गया कार्य $ 6.67 \times 10^{-10} J $ होगा
पृथ्वी की सतह से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किसी पिंड का पलायन वेग $11 kms^{-1} $ है। यदि पिंड को ऊर्ध्वाधर से 450 के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है, तो पलायन वेग ............$kms^{-1}$ होगा।
पलायन वेग उस दिशा से स्वतंत्र होता है जिसमें पिंड प्रक्षेपित किया जाता है। इसलिए, भले ही पिंड को ऊर्ध्वाधर से 45 डिग्री के कोण पर प्रक्षेपित किया जाए, पलायन वेग वही रहता है, जो $11 kms^{-1}$ है। प्रक्षेपण कोण पलायन वेग के परिमाण को प्रभावित नहीं करता है।
पृथ्वी के कृत्रिम उपग्रह के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा कथन गलत है
उपग्रह का कक्षीय वेग उसके द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है। यह केवल पृथ्वी के द्रव्यमान और कक्षा की त्रिज्या पर निर्भर करता है। अतः, कथन 'कक्षीय वेग उपग्रह के द्रव्यमान पर निर्भर करता है' गलत है।
सूर्य का द्रव्यमान और त्रिज्या $1.99 \times10^{30} kg $ और $ R = 6.96 \times 10^8 m$ है। सूर्य से रॉकेट का पलायन वेग = ………..km/sec है
$ Ve = \sqrt { 2GM \over R } = \sqrt { 2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 1.99 \times 10^{30} \over 6.98 \times 108 } = 618 kms^{-1} $
एक व्यक्ति ग्रह A पर 1.5 m की ऊँचाई तक कूद सकता है, वह दूसरे ग्रह पर कितनी ऊँचाई तक कूद सकता है जिसका घनत्व और त्रिज्या क्रमशः ग्रह A के एक-चौथाई और एक-तिहाई हैं?
$ H = { V^2 \over 2 g } \Rightarrow H \alpha { 1 \over g } \Rightarrow {H_B \over H_A } = { g_A \over g_B} $ अब $ g_B = { g_A \over 12} as g \alpha \rho R $ $ \therefore { H_B \over H_A } = { g_A \over g_B} =12 \Rightarrow H_B = 12 H_A = 12 \times 1.5 = 18 m $
दो उपग्रह जिनके द्रव्यमान m1 और m2 हैं (m1 > m2), पृथ्वी के चारों ओर क्रमशः r1 और r2 (r1 > r2) त्रिज्या के वृत्ताकार कक्षाओं में परिक्रमा कर रहे हैं। उनकी चाल V1 और V2 के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$ \upsilon = \sqrt { GM \over r } $ $ it r_1 \gt r_2 then V_1 \lt V_2 $
यदि r, m द्रव्यमान के एक उपग्रह की कक्षा की त्रिज्या को दर्शाता है जो M द्रव्यमान के एक ग्रह के चारों ओर घूम रहा है, तो उपग्रह का वेग निम्न द्वारा दिया जाता है
किसी ग्रह के चारों ओर कक्षा में एक उपग्रह का वेग ( u) सूत्र
$ u = rac{GM}{r} $ द्वारा दिया जाता है, जहाँ G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, M ग्रह का द्रव्यमान है, और r कक्षा की त्रिज्या है। इसलिए, सही रूप $ u^2 = rac{GM}{r}$ है। यह समीकरण उपग्रह पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल और अभिकेंद्री बल के संतुलन से व्युत्पन्न है।
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