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द्रव्यमान m का एक पिंड पृथ्वी की सतह से पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊँचाई h तक ले जाया जाता है, स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होगी
$ \triangle U = { mgh \over 1 + {h / R} } = {1 \over 2 } mgR $
एक अंतरिक्ष यान का द्रव्यमान 1000 kg है। इसे पृथ्वी की सतह से मुक्त अंतरिक्ष में प्रक्षेपित किया जाना है। g और R (पृथ्वी की त्रिज्या) के मान क्रमशः $10ms^{-2}$ और 6400 km हैं। इस कार्य के लिए आवश्यक ऊर्जा =………… J होगी
$ W = 0- \left( -{ - GMm \over R } \right) = { GMm \over R } = gR^2 {m \over R} = mgR$ $ = 1000 \times 10 \times 6400 \times 10^3 = 64 \times 10^9 = 6.4 \times 10^{10 } J $
जब कोई उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर त्रिज्या r और चाल v के वृत्तीय कक्षा में घूम रहा है, अपनी कुछ ऊर्जा खो देता है, तो r और v में परिवर्तन इस प्रकार होता है
$ B.E = { - GMm \over r } $ यदि B.E. घटता है तो r भी घटता है और V बढ़ता है क्योंकि $ v \alpha { 1 \over r } $
पृथ्वी के चारों ओर वृत्ताकार कक्षा में घूमने वाले एक कृत्रिम उपग्रह की कुल (गतिज + स्थितिज ऊर्जा) Eo है, इसकी स्थितिज ऊर्जा है
स्थितिज ऊर्जा = 2. कुल ऊर्जा = $2E_0$ क्योंकि हम जानते हैं $ U = -{GMM \over r } and Eo = - { GMM \over 2r } $
यदि g earth’s सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है और r earth की त्रिज्या है, तो पिंड को earth’s गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए पलायन वेग है
पलायन वेग (\nu) Earth के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से सूत्र $v = \\sqrt{2gr}$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ, g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है और r Earth की त्रिज्या है। यह सूत्र Earth के गुरुत्वाकर्षण से बचने के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा को गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के बराबर करने से प्राप्त होता है।
एक द्रव्यमान वितरण के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र द्वारा दिया गया है, जहाँ k एक नियतांक है। अनंत पर विभव शून्य मानते हुए, x = a बिंदु पर विभव ज्ञात कीजिए। [यह प्रश्न केवल ड्रॉपर और बारहवीं बैच के लिए है]
हम जानते हैं,
जब
एक उपग्रह घनत्व वाले ग्रह के बहुत निकट घूम रहा है। उपग्रह का आवर्तकाल है:
एक ग्रह दीर्घवृत्तीय कक्षा में घूम रहा है। यदि T, V, E और L क्रमशः इसकी गतिज ऊर्जा, गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा, कुल ऊर्जा और कक्षा के केंद्र के सापेक्ष कोणीय संवेग को दर्शाते हैं, तो
कोणीय संवेग की दिशा नहीं बदलती है। यह पथ के प्रत्येक बिंदु पर समान रहती है। हम दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करके कोणीय संवेग की दिशा ज्ञात कर सकते हैं।
ग्रहीय गति में किसी ग्रह के स्थिति सदिश का क्षेत्रीय वेग, कोणीय वेग () और ग्रह की सूर्य से दूरी (r) पर निर्भर करता है। क्षेत्रीय वेग के लिए सही संबंध है:
एक प्रक्षेप्य को पृथ्वी की सतह से ऊपर की ओर एक वेग से दागा जाता है, जहाँ पलायन वेग है और k < 1 है। यदि r पृथ्वी के केंद्र से वह अधिकतम दूरी है जहाँ तक यह ऊपर उठता है और R पृथ्वी की त्रिज्या है, तो r बराबर है
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