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पृथ्वी (त्रिज्या R) के आकर्षण के कारण पृथ्वी की सतह से 2R दूरी पर किसी पिंड का त्वरण = ............... (g = पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण)
$ g' = \left( { R \over R + 2R } \right) = g /9 $
गुरुत्वीय क्षेत्र में, एक बिंदु पर जहाँ गुरुत्वीय विभव शून्य है
$ I = - { dv \over dx } $
पृथ्वी की सतह पर m द्रव्यमान के किसी पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा -mgRe है। पृथ्वी की सतह से Re ऊँचाई पर इसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा होगी = ……………, यहाँ (Re पृथ्वी की त्रिज्या है)
$ \triangle U = U _2 - U_1 = { mgh \over 1+h/Re } = { mgRe \over 1 + { Re \over Re} } = { mgRe \over 2 } $ $ \therefore U_2 - ( - mgRe ) = { mgRe \over 2 } $ $ \therefore U_2 = - { 1 \over 2 } mgRe $
पृथ्वी के उपग्रह की कक्षा की त्रिज्या R है। इसकी गतिज ऊर्जा समानुपाती होती है:
$ K.E = { GMm \over 2R } \therefore K.E \alpha { 1 \over R} $
एक कण अनंत से पृथ्वी की ओर गिरता है। पृथ्वी पर पहुँचने पर इसका वेग होगा
यह पलायन वेग के बराबर होना चाहिए अर्थात $ \sqrt { 2gR } $
एक पिंड को त्रिज्या R वाले ग्रह की सतह से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर उस ग्रह के पलायन वेग के आधे के बराबर वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। पिंड द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई .......... है।
यदि पिंड को वेग Ï… (Ï… Ve) से प्रक्षेपित किया जाता है तो वह ऊँचाई जहाँ तक वह जाएगा परंतु $ u = { ve \over 2 } $ $ \therefore h = { R \over \left( { Ve \over Ve/2 } \right)^2 -1 } $ $ { R \over 4-1} = R/3 $
पृथ्वी से रॉकेट का पलायन वेग $11.2 kms^{–1}$ है। एक ऐसे ग्रह पर जहाँ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण पृथ्वी से दोगुना है और ग्रह का व्यास पृथ्वी से दोगुना है, पलायन वेग का मान = ………………..$kms^{–1}$ होगा।
$ { V_p \over V_e } = \sqrt { {g_p \over g_e } . { R_p \over R_e} } = \sqrt { 2 \times 2 } = 2 $ $ \Rightarrow V_e = 2 V_e = 2 \times 11.2 = 22.4 km^{-1} $
पृथ्वी से पलायन वेग लगभग $11 kms^{–1}$ है। एक ऐसे ग्रह से पलायन वेग जिसकी त्रिज्या पृथ्वी से दोगुनी है और जिसका औसत घनत्व पृथ्वी के समान है = ………..$kms^{–1}$।
$Ve = \sqrt { 2GM \over R} = R \sqrt { 8/3 \pi Gp } $ $ \therefore Ve \alpha R if \rho constant $ चूंकि ग्रह की त्रिज्या पृथ्वी की तुलना में दोगुनी है, इसलिए पलायन वेग दोगुना हो जाता है अर्थात $ 22 kms^{-1}$
पृथ्वी की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग Ve है। पृथ्वी की सतह से 7 R ऊँचाई से उसी पिंड का पलायन वेग होगा
$ Ve \alpha { 1\over \sqrt r } $ $ { V_1 \over V_2 } = \sqrt{ r_2 \over r_1 } = \sqrt { R+7R \over R } = 2 \sqrt 2 \Rightarrow V_2 = { V_1 \over 2 \sqrt 2 } $
एक कृत्रिम उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर एक वृत्ताकार कक्षा में घूम रहा है। इसका वेग पलायन वेग का आधा है। पृथ्वी की सतह से इसकी ऊँचाई = km है।
$ v = \sqrt { GM \over R+ h } = {1 \over 2 } \sqrt { 2GM \over R } $ $ \therefore 4R = 2 (R+h )$ $ \therefore h = R = 6400 km$
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