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नीचे दिए गए समीकरणों में से कौन-सा सरल आवर्त गति को निरूपित करता है?
सरल आवर्त गति में त्वरण तथा विस्थापन की दिशाएँ विपरीत होती हैं साथ ही $ a \alpha y $।
सरल आवर्त गति करते हुए किसी कण के लिए विस्थापन दिया गया है $ x = A Cos( ùt + \hat O) $ । यदि कण की प्रारंभिक स्थिति 1 cm है तथा उसका प्रारंभिक वेग $p cms^{- 1} $ है, तो उसकी प्रारंभिक कला क्या होगी? कण की कोणीय आवृत्ति $p s^{-1}.$ है
$ Here t =0 , x =1 cm and \nu = \pi cm s^{-1} , w = \pi s^{-1} $ $ Now , x = A cos ( \omega t + \phi ) ....(1) $ $ Velocity \nu = { dx \over dt } = -A sin \omega ( \omega t + \phi ) .....(2) $ समीकरण (1) तथा (2) हल किए
144 cm तथा 121 cm लंबाई वाले दो सरल लोलक दोलन करना प्रारंभ करते हैं। किसी समय, लोलकों के दोनों गोलक साम्यावस्था स्थितियों में तथा समान कला में हैं। छोटे लोलक के कितने दोलनों के बाद दोनों गोलक साम्यावस्था स्थिति से गुजरेंगे तथा उनकी कला समान होगी?
$ T_1 = 2 \pi \sqrt { 144 \over g } and \,T_2 = 2 \pi \sqrt { 121 \over g } $ $ \therefore T_1 \gt T_2 $ जब छोटा लोलक n दोलन पूरे करता है, तब बड़ा लोलक (n-1) दोलन पूरे करता है (जब समान कला में हों)। $ \therefore nT_2 = (n -1 ) T_1 $
लंबाई l वाले किसी सरल लोलक को समय t = 0 पर एक छोटा कोणीय विस्थापन देकर छोड़ा जाता है। समय t के बाद, लोलक के गोलक का रैखिक विस्थापन दिया जाता है
$ Periodic time T = 2 \pi { l \over g } = \omega = {2 \omega \over T } \Rightarrow \omega = { g \over l } $ $ Linear \,displacement x = a cos \omega t $
द्रव्यमान $m_1$ तथा $m_2$ बल नियतांक k वाली एक द्रव्यमानरहित स्प्रिंग के दोनों सिरों से जोड़े गए हैं। जब निकाय साम्यावस्था में है, यदि द्रव्यमान $m_1$ अलग कर दिया जाए, तो द्रव्यमान $m_2$ की कोणीय आवृत्ति होगी …………..।
$ \omega = \sqrt { k \over m_1 + m_2 } or\, removing \,m , angular\, frequency \,\omega' = { k \over m_2 } $
जब किसी सरल आवर्त दोलक का विस्थापन A/2 के बराबर हो, तो कुल ऊर्जा का कितना अंश गतिज ऊर्जा के बराबर होगा? { A आयाम है }
$ Kinetic energy K = { 1 \over 2 } m \omega^2 ( A^2 - y^2 ) $ $ Now , Total energy E = { 1 \over 2 } m \omega^2 A^2 $
गति करते हुए किसी कण की चाल समय के साथ समीकरण $y = aSinùt + bCosùt,$ के अनुसार बदलती है तो ……..
$ y = a sin \omega t + b cos \omega t $ $ Taking a = A cos \theta and b = A sin \theta $ $ y = A cos \theta sin \omega t + A sin \theta cos \omega t $ $ = A sin ( \omega t + \theta ) $ $ Now , a^2 + b^2 = A^2 $ $ \therefore A = \sqrt { a^2 + b^2 } $
एक वस्तु ऊर्ध्वाधर दिशा में सरल आवर्त गति करते हुए किसी क्षैतिज पटरे पर रखी है। उसके दोलन का आयाम $3.92 \times 10^{– 3}m$ है। न्यूनतम आवर्तकाल क्या होना चाहिए ताकि वस्तु पटरे से संपर्क न खोए?
वस्तु सतह से संपर्क नहीं खोएगी, $ if mg = m \omega ^2 r = { m4 \pi ^2 \over T^2 } . r $ (जहाँ r आयाम है ) $ \therefore T = 2 \pi \sqrt { r \over g} $
यदि सरल आवर्त गति करते हुए किसी कण की गतिज ऊर्जा K = K Cos2ωt द्वारा दी जाती है, तो कण का विस्थापन दिया जाता है ……….
$ maximum kinetic energy K_o = { 1 \over 2 } m \omega^2 A^2 $ $ \therefore A = \left( { 2 K_o \over m \omega^2 } \right) ^{1 /2 } $ $ \therefore Equation for displacement is ; y = A sin \omega t = \left( { 2 K_o \over m \omega^2 } \right) ^{1 /2} sin \omega t $
जब किसी द्रव्यमानरहित स्प्रिंग, जिसका बल नियतांक k है, के मुक्त सिरे से द्रव्यमान m लटकाया जाता है, तो वह आवृत्ति f से दोलन करता है। अब यदि स्प्रिंग को दो बराबर भागों में विभाजित किया जाए तथा उनमें से किसी एक के सिरे से द्रव्यमान 2m लटकाया जाए, तो वह जिस आवृत्ति से दोलन करेगा वह होगी …………..
$ f = { 1 \over 2 \pi } \sqrt { k \over m } and f' = { 1 \over 2 \pi } \sqrt { 2k \over 2m } $ $ { k' = 2 k } $ $ \therefore f' = f $
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