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निम्नलिखित में से किसे आवर्ती गति नहीं माना जाएगा?
अभ्यास का प्रश्न 13.1 आवर्ती गतियों की पहचान करने को कहता है। धनुष से छोड़ा गया तीर परवलयिक प्रक्षेप-पथ पर चलता है परंतु नियमित अंतरालों पर अपनी गति नहीं दोहराता, अतः यह अनावर्ती है। अन्य विकल्प ऐसी गतियों का वर्णन करते हैं जो एक निश्चित समय के बाद दोहराती हैं।
सरल लोलक के सरल आवर्त गति करने के लिए उसके कोणीय विस्थापन के लिए कौन-सी शर्त पूरी होनी चाहिए?
'विचारणीय बिंदु' खंड कहता है: 'सरल लोलक की गति छोटे कोणीय विस्थापन के लिए सरल आवर्त होती है।' बड़े कोणों के लिए गति अब भी आवर्ती है परंतु सरल आवर्त नहीं।
यदि किसी आवर्ती गति $ x(t) $ को अनंत संख्या की आवर्त गतियों के योग के रूप में निरूपित किया जाए, तो इन घटक आवर्त गतियों की आवृत्तियों के बारे में क्या कहा जा सकता है?
'विचारणीय बिंदु' का बिंदु 6 कहता है: 'स्वेच्छ आयामों और कलाओं वाली दो सरल आवर्त गतियों का संयोजन आवश्यक रूप से आवर्ती नहीं होता। यह तभी आवर्ती है जब एक गति की आवृत्ति दूसरी की आवृत्ति का पूर्णांक गुणज हो। तथापि, किसी आवर्ती गति को सदैव उपयुक्त आयामों वाली अनंत संख्या की आवर्त गतियों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।' किसी सामान्य आवर्ती फलन का आवर्त फलनों के योग में यह वियोजन फूरिए विश्लेषण कहलाता है, जिसमें आवृत्तियाँ सामान्यतः किसी मूल आवृत्ति के पूर्णांक गुणज होंगी।
निम्नलिखित में से कौन-सा समीकरण सरल आवर्त गति (SHM) के बल नियम को सही दर्शाता है?
न्यूटन के द्वितीय नियम के अनुसार, F(t) = ma(t)। SHM के लिए, त्वरण a(t) = -ω²x(t)। इसे न्यूटन के द्वितीय नियम में प्रतिस्थापित करने पर F(t) = -mω²x(t) मिलता है। पाठ k = mω² भी परिभाषित करता है, अतः F(t) = -kx(t)। इसलिए दिए गए सभी विकल्प SHM के बल नियम के सही निरूपण हैं। (NCERT, पृष्ठ 267)
सरल आवर्त गति में कण पर कार्य करने वाला बल सदैव निर्देशित होता है:
संदर्भ कहता है: 'त्वरण की तरह, बल सदैव माध्य स्थिति की ओर निर्देशित होता है—इसलिए SHM में इसे कभी-कभी प्रत्यानयन बल कहते हैं।' यह SHM का एक मूलभूत अभिलक्षण है। (NCERT, पृष्ठ 267)
बल F(t) = -kx(t) के प्रभाव में दोलन करने वाला कण कहलाता है:
संदर्भ कहता है: 'ध्यान दें कि समीकरण (13.13) में बल x(t) के रैखिक रूप से समानुपाती है। ऐसे बल के अंतर्गत दोलन करने वाले कण को इसलिए रैखिक आवर्त दोलक कहते हैं।' (NCERT, पृष्ठ 267)
यदि दोलन करने वाले कण पर कार्य करने वाले बल में x², x³ आदि के समानुपाती अतिरिक्त पद हों, तो दोलक को वर्गीकृत किया जाएगा:
पाठ समझाता है: 'वास्तविक संसार में बल में x², x³ आदि के समानुपाती छोटे अतिरिक्त पद हो सकते हैं। इन्हें तब अरैखिक दोलक कहते हैं।' (NCERT, पृष्ठ 267)
सरल आवर्त गति को दो समतुल्य तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। एक विस्थापन समीकरण x(t) = A cos(ωt + φ) द्वारा। दूसरा समतुल्य तरीका क्या है?
संदर्भ कहता है: 'अब तक की चर्चा को संक्षेप में कहें तो, सरल आवर्त गति को दो समतुल्य तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है, या तो विस्थापन के लिए समीकरण (13.4) द्वारा या समीकरण (13.13) द्वारा जो इसका बल नियम देता है।' समीकरण (13.13) है F(t) = -kx(t)। (NCERT, पृष्ठ 267)
बल नियम F(t) = -kx(t) से विस्थापन समीकरण x(t) व्युत्पन्न करने के लिए करना पड़ता है:
संदर्भ उल्लेख करता है: 'समीकरण (13.4) से समीकरण (13.13) तक जाने के लिए हमें दो बार अवकलन करना पड़ा। इसी प्रकार, बल नियम समीकरण (13.13) का दो बार समाकलन करके हम समीकरण (13.4) पुनः प्राप्त कर सकते हैं।' (NCERT, पृष्ठ 267)
SHM करने वाले स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए, यदि स्प्रिंग नियतांक 'k' समान रहते हुए द्रव्यमान 'm' बढ़ाया जाए, तो कोणीय आवृत्ति ω:
पाठ में दिए गए सूत्र ω = √(k/m) (समीकरण 13.14b) से, यदि 'm' बढ़ता है और 'k' नियत रहता है, तो ω घटेगी। (NCERT, पृष्ठ 267)
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