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द्रव्यमान m का एक पिंड पृथ्वी की सतह से पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊँचाई h तक ले जाया जाता है, स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होगी
$ \triangle U = { mgh \over 1 + {h / R} } = {1 \over 2 } mgR $
एक अंतरिक्ष यान का द्रव्यमान 1000 kg है। इसे पृथ्वी की सतह से मुक्त अंतरिक्ष में प्रक्षेपित किया जाना है। g और R (पृथ्वी की त्रिज्या) के मान क्रमशः $10ms^{-2}$ और 6400 km हैं। इस कार्य के लिए आवश्यक ऊर्जा =………… J होगी
$ W = 0- \left( -{ - GMm \over R } \right) = { GMm \over R } = gR^2 {m \over R} = mgR$ $ = 1000 \times 10 \times 6400 \times 10^3 = 64 \times 10^9 = 6.4 \times 10^{10 } J $
जब कोई उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर त्रिज्या r और चाल v के वृत्तीय कक्षा में घूम रहा है, अपनी कुछ ऊर्जा खो देता है, तो r और v में परिवर्तन इस प्रकार होता है
$ B.E = { - GMm \over r } $ यदि B.E. घटता है तो r भी घटता है और V बढ़ता है क्योंकि $ v \alpha { 1 \over r } $
क्षैतिज रेखा के साथ किसी प्रक्षेप्य के प्रक्षेपण कोण $ \theta $ है, समय t = 0 पर, कितने समय बाद कोण पुनः $ \theta $ होगा?
किसी प्रक्षेप्य की उड़ान का समय \( \frac{2V_0 \sin \theta}{g} \) द्वारा दिया जाता है। चूंकि प्रक्षेपण कोण \( \theta \) उड़ान के आधे समय पर पुनरावृत्त होगा, वह समय जब कोण पुनः \( \theta \) होगा, \( \frac{2V_0 \sin \theta}{g} \) है।
पृथ्वी के चारों ओर वृत्ताकार कक्षा में घूमने वाले एक कृत्रिम उपग्रह की कुल (गतिज + स्थितिज ऊर्जा) Eo है, इसकी स्थितिज ऊर्जा है
स्थितिज ऊर्जा = 2. कुल ऊर्जा = $2E_0$ क्योंकि हम जानते हैं $ U = -{GMM \over r } and Eo = - { GMM \over 2r } $
एक कण R त्रिज्या के वृत्त में नियत चाल से गति कर रहा है। कण का आवर्तकाल T है। अब समय t = T/6 के बाद एक प्रक्षेप्य का परास R और अधिकतम ऊँचाई H है। प्रक्षेप्य के पथ और क्षैतिज रेखा द्वारा घिरा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
$ A = \int _0^R y dx $ $ take \, y = x tan \theta - { gx^2 \over 2V_0 x cos \theta } $
$ \vec C = \vec A + \vec B $ और A = B = C . के बीच का कोण ज्ञात कीजिए $ \vec A and \vec B $
$$ \vec C = \vec A + \vec B $$ $$ C^2 = A^2 + B^2 + 2AB cos \theta $$
एक कण को $V_0$ की प्रारंभिक चाल और $ \theta $ के कोण से प्रक्षेपित किया जाता है। जब इसका वेग प्रारंभिक वेग के लंबवत हो, तो क्षैतिज विस्थापन ज्ञात कीजिए।
$ \vec V_0 = V_0cosθ \hat i + V_0 sinθ \hat j$ $ \vec V = V_0 cosθ \hat i + (V_0sm \theta – gt) \hat j$ $ \vec V_0 . \vec V = 0 $ $ \therefore t = { V_0 \over gsin \theta } $ अब x ज्ञात कीजिए
एक आदर्श गैस का आयतन, दाब और तापमान क्रमशः V, P और T हैं।
यदि अणु का द्रव्यमान m है, तो इसका घनत्व है [ $k_B = Boltzmann`s constant$]
$ PV = RT \Rightarrow PV = { M \over M_o } RT $
$ \therefore {PMo \over RT } ={ M \over V} = \rho $
$ \rho = { PMo \over RT} = {P \times m \times N_A \over RT} = { Pm \over \left( { R \over N_A} \right)} T = { Pm \over k_B T } $
एक एकांक सदिश ज्ञात कीजिए जो $ \vec A and \vec B $ दोनों पर लंबवत हो
एक एकांक सदिश ज्ञात करने के लिए जो दोनों सदिशों \( \vec{A} \) और \( \vec{B} \) पर लंबवत हो, हम क्रॉस गुणनफल \( \vec{A} \times \vec{B} \) का उपयोग करते हैं। क्रॉस गुणनफल का परिमाण \( AB \sin \theta \) द्वारा दिया जाता है। इसलिए, दोनों \( \vec{A} \) और \( \vec{B} \) पर लंबवत एकांक सदिश \( \frac{ \vec{A} \times \vec{B} }{ AB \sin \theta } \) है।
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