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कौन सा कथन सत्य है?
क्रॉस गुणनफल $ \\vec{A} \\times \\vec{B} $ प्रतिसममेय (anticommutative) है, जिसका अर्थ है कि $ \\vec{A} \\times \\vec{B} = - \\vec{B} \\times \\vec{A} $. यह सदिश बीजगणित में क्रॉस गुणनफल का एक मौलिक गुणधर्म है। इसलिए, सही कथन \vec{A} \times \vec{B} = - \vec{B} \times \vec{A} है।
दो सदिश A और B इस प्रकार हैं कि lA+Bl=lA-Bl तो A और B के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
दो सदिशों \( \vec{A} \) और \( \vec{B} \) के लिए, यदि \( |\vec{A} + \vec{B}| = |\vec{A} - \vec{B}| \), तो सदिश एक-दूसरे के लंबवत होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि सदिशों के योग और अंतर के परिमाण केवल तभी बराबर होते हैं जब उनके बीच का कोण 90° हो। इसलिए, \( \vec{A} \) और \( \vec{B} \) के बीच का कोण 90° है।
प्रक्षेपण कोण, अधिकतम ऊँचाई और कण के अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने का समय क्रमशः , H और tm हैं। सही संबंध ज्ञात कीजिए।
अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने का समय ज्ञात करने के लिए, हम प्रक्षेप्य के लिए गतिकी समीकरण का उपयोग करते हैं। अधिकतम ऊँचाई (tm) तक पहुँचने का समय निम्न द्वारा दिया जाता है: \[ t_m = rac{u ext{sin} heta}{g} \\] अधिकतम ऊँचाई (H) निम्न द्वारा दी जाती है: \[ H = rac{u^2 ext{sin}^2 heta}{2g} \\] tm के लिए हल करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: \[ t_m = rac{u ext{sin} heta}{g} = rac{ ext{sin} heta}{g} imes rac{u^2 ext{sin} heta}{2u} \\] \[ t_m = rac{2H}{g} imes rac{1}{u} \\] सरलीकरण करने पर, हम प्राप्त करते हैं: \[ t_m = rac{2H}{g} = rac{2H}{g} \\] इसलिए, सही विकल्प o2 है: \[ t_m = rac{ ext{2H}}{g} \\]
दिशा $ \hat i + 2 \hat j - 3 \hat k $ में मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
दिशा \( \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k} \) में मात्रक सदिश ज्ञात करने के लिए, हम पहले सदिश का परिमाण ज्ञात करते हैं: \( \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \)। तब मात्रक सदिश प्रत्येक घटक को परिमाण से विभाजित करके दिया जाता है: \( \frac{1}{\sqrt{14}} ( \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k} ) \)। अतः सही उत्तर \( \frac{1}{\sqrt{14}} ( \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k} ) \) है।
एक प्रक्षेप्य का प्रक्षेपण कोण बदला जाता है, प्रारंभिक वेग स्थिर रखते हुए। अधिकतम ऊंचाई में परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए। प्रक्षेप्य की परास R है।
एक पत्थर को बिंदु P से $ \theta $ कोण और $V_0$ वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। यह बिंदु Q पर जमीन से टकराता है। यदि P और Q दोनों एक ही क्षैतिज रेखा पर हैं, तो औसत वेग ज्ञात कीजिए।
प्रक्षेप्य गति के लिए जहां प्रारंभिक और अंतिम बिंदु एक ही क्षैतिज रेखा पर हैं, औसत वेग प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक है, जो \( V_0 \cos \theta \) है।
एक प्रक्षेप्य का प्रारंभिक कोण $\theta $ है और इसका प्रारंभिक वेग $V_0$ है। समय t पर क्षैतिज रेखा के साथ वेग का कोण ज्ञात कीजिए।
समय t पर $ V_ x = V_0 = V_0 cos \theta $
$ V_y = Visinθ – gt$
$ tan \alpha = { Vy \over Vx } = {V_0sin \theta – gt \over V_0cos \theta } $
एक कण त्रिज्या R के वृत्त में नियत चाल से गति कर रहा है। कण का आवर्तकाल T है। अब समय t = T/6 के बाद कण का औसत वेग है
निम्नलिखित प्रश्न अभिकथन - कारण प्रकार का प्रश्न है। चुनें अभिकथन : प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु पर वेग शून्य नहीं होता है। कारण : वेग का केवल ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है, जबकि क्षैतिज घटक अभी भी विद्यमान रहता है।
प्रक्षेप्य गति में, उच्चतम बिंदु पर, वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है, लेकिन वेग का क्षैतिज घटक अभी भी विद्यमान रहता है। इस प्रकार, कुल वेग शून्य नहीं होता है। अतः, अभिकथन और कारण दोनों सत्य हैं, और कारण अभिकथन की सही व्याख्या करता है।
यदि f एक स्थिर चाल से वृत्तीय पथ पर गतिमान पिंड की आवृत्ति है। a इसका अपकेंद्री त्वरण है, तो।
अपकेंद्री त्वरण $ a_r = { v^2 \over r } = \left( { 2 \pi r \over T } \right) ^2 { 1 \over r } = 4 \pi^2 r f^2 $
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