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कोण $\theta$ को सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ के लिए निर्धारित करते समय कोणों का कौन-सा परास लिया जाना चाहिए?
NCERT पाठ कहता है: 'उपर्युक्त नियमों में से किसी को भी लागू करते समय घूर्णन को छोटे कोण ($<180^\circ$) से लिया जाना चाहिए, जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच है'।
सदिश गुणनफल को इस नाम से भी जाना जाता है:
NCERT पाठ स्पष्ट कहता है: 'सदिश गुणनफल को दर्शाने के लिए प्रयुक्त क्रॉस ($\times$) के कारण इसे क्रॉस गुणनफल भी कहा जाता है।'
सदिश गुणनफल के संबंध में निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
NCERT पाठ रेखांकित करता है: 'तथापि, सदिश गुणनफल क्रमविनिमेय नहीं है।' यह इसे आगे '$\vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}$' जबकि '$\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$' से दर्शाता है।
यदि $\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{b} = -2\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं, तो $\vec{a} \cdot \vec{b}$ का मान क्या है?
अदिश गुणनफल (डॉट गुणनफल) की गणना $A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$ के रूप में की जाती है। $\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{b} = 0\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ दिए जाने पर, $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(0) + (4)(-2) + (-5)(3) = 0 - 8 - 15 = -23$। यह उदाहरण 6.4 पर आधारित है जो अदिश और सदिश दोनों गुणनफल पूछता है, परंतु केवल अदिश गुणनफल (डॉट गुणनफल) की गणना दर्शाता है।
एकांक सदिशों $\hat{i}$, $\hat{j}$ और $\hat{k}$ के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?
NCERT पाठ ये परिणाम सूचीबद्ध करता है: '(i) $\hat{i} \times \hat{i} = 0, \hat{j} \times \hat{j} = 0, \hat{k} \times \hat{k} = 0$' और '(ii) $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$, $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$, $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$।' इसके आधार पर विकल्प o3 सही है।
यदि $\vec{a} = a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}$ और $\vec{b} = b_x\hat{i} + b_y\hat{j} + b_z\hat{k}$ हैं, तो सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ को सारणिक रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
NCERT पाठ सारणिक रूप देता है: '$\vec{a} \times \vec{b} = |\begin{smallmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{smallmatrix}|$।'
किसी कण के कोणीय संवेग के परिवर्तन की समय दर बराबर होती है:
NCERT पाठ कहता है: 'इस प्रकार, किसी कण के कोणीय संवेग के परिवर्तन की समय दर उस पर कार्यरत बल-आघूर्ण के बराबर है। यह समीकरण $\vec{F} = d\vec{p}/dt...$ का घूर्णी सदृश है'
यदि $\vec{r}$ किसी कण का स्थिति सदिश और $\vec{p}$ उसका रैखिक संवेग है, तो उसका कोणीय संवेग $\vec{l}$ दिया जाता है:
NCERT पाठ कोणीय संवेग को परिभाषित करता है: '$\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}$।'
यदि घूर्णी गति में किसी कण के लिए $\vec{v}$ रैखिक वेग और $\vec{\omega}$ कोणीय वेग है, तो उनका संबंध दिया जाता है:
NCERT पाठ उल्लेख करता है: 'P पर कण का रैखिक वेग $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ है'।
स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन के लिए कोणीय वेग सदिश $\vec{\omega}$ स्थित होता है:
NCERT पाठ कहता है: 'स्थिर अक्ष के परितः घूर्णन के लिए, कोणीय वेग सदिश घूर्णन अक्ष के अनुदिश होता है, और उस दिशा में संकेत करता है जिसमें दक्षिणावर्ती पेंच अग्रसर होगा...'
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