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एक वृत्ताकार वलय और एक वृत्ताकार चक्रिका दोनों का द्रव्यमान और त्रिज्या समान है। उनके केंद्रों से गुजरने वाले और उनके तलों के लंबवत अक्षों के परितः उनके जड़त्व आघूर्णों का अनुपात होगा......
$ { I ring \over I disc } = { MR^2 \over { 1 \over 2 } MR^2 } = { 2 \over 1 } $ $ \therefore 2 :1 $
द्रव्यमान M और त्रिज्या r का एक वलय पिघलाया जाता है और फिर एक गोले में ढाला जाता है, तो गोले का जड़त्व आघूर्ण होगा......
$ I_{ring} = MR _1^ 2$ चूंकि आयतन और द्रव्यमान समान रहते हैं $ I_{solid } = { 2 \over 5} MR_2^2 $ $ R_2 \lt \lt R_1 $
एक कार 72 km/hr की चाल से चल रही है, इसके पहिये की त्रिज्या 0.25m है। यदि ब्रेक लगाने के बाद पहिये 20 चक्करों में रुक जाते हैं, तो ब्रेक द्वारा उत्पन्न कोणीय मंदन …… है
$ \omega_0 { G_0 \over r} = { 72 \times 1000 /3600 \over 0.25 } = 80 rad /sec $ $ \omega = 0 . \theta = 2 \pi n = 2 \pi \times 20 = 40 \pi rad $ $ As \;2 \alpha \theta = w^2 - w_0^2 $
R त्रिज्या और R/6 मोटाई वाली एक वृत्ताकार डिस्क का, इसके केंद्र से गुजरने वाले और इसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण I है। इसे पिघलाकर एक ठोस गोले में ढाला जाता है। गोले का अपने व्यास के परितः घूर्णन अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण है…
डिस्क का आयतन = $ V_1 = \pi R_1 ^2 . t = { \pi R_1^3 \over 6 } $ $ \therefore { R_1^3 \over 6} = { 4 \over 3} R_2 ^3 $ गोले का आयतन = $ = { 4\over 3} \pi R_2^3 $ $ R_1^3 = 8 R_2^3 $ $ \therefore R_1 = 2R_2 $ $ I_1 = M.I of disc = I = { 1 \over 2} MR_1^2 $ $ I_2 = M.I of sphere = { 2 \over 5} MR_2^2 = { mR_1^2 \over 5 \times 2 } = { I \over 5} $
10 kg द्रव्यमान का एक पहिया अपने अक्ष के परितः$ 160 kg m^2 $ का जड़त्व आघूर्ण रखता है। परिभ्रमण त्रिज्या होगी ………... m.
$ I = MK^2 = 160 $ $ \therefore K^2 = {160 \over m} = { 160 \over 10 } = 16 $ $ \therefore K = 4 $
M द्रव्यमान और r त्रिज्या का एक पतला वृत्ताकार वलय अपने अक्ष के परितः नियत कोणीय वेग w से घूर्णन कर रहा है। प्रत्येक द्रव्यमान m की दो वस्तुएं वलय के एक व्यास के विपरीत सिरों पर धीरे से जोड़ दी जाती हैं। अब वलय किस कोणीय वेग से घूर्णन करेगा?
वलय का प्रारंभिक कोणीय संवेग $ = I \omega = MR^2 \omega $ वलय और कणों का अंतिम कोणीय संवेग $ = ( MR^2 + 2 mR^2 ) \omega' $ चूंकि कोई बाह्य बल-आघूर्ण नहीं है, अतः कोणीय संवेग संरक्षण के नियमानुसार। $ MR^2 \omega = ( MR^2 + 2 mR^2 ) \omega' $ $ \therefore \omega' = { wM \over (M + 2m ) } $
एक समान छड़ जिसकी लंबाई 2L है, को एक सिरे को क्षैतिज के संपर्क में रखा जाता है और फिर इसे क्षैतिज से $ \alpha $ कोण पर झुकाया जाता है और संपर्क बिंदु पर बिना फिसले गिरने दिया जाता है। जब यह क्षैतिज हो जाती है, तो इसका कोणीय वेग होगा…..
ऊर्जा संरक्षण द्वारा छड़ की स्थितिज ऊर्जा = घूर्णन गतिज ऊर्जा $ M.g {1 \over 2} sin d = { 1 \over 2} I \omega^2 = { 1 \over 2} { mL^2 \over 3} \omega^2 $ $ \therefore \omega = \sqrt { 3 g sin \alpha \over L } $ यहाँ l = 2 L है $ \omega = \sqrt { 3g sin \alpha \over 2L } $
यदि पृथ्वी को त्रिज्या R और द्रव्यमान M का एक गोला माना जाए। आवर्तकाल T के साथ घूर्णन अक्ष के परितः इसका कोणीय संवेग है…
गोले का जड़त्व आघूर्ण $ I = { 2 \over 5 } MR^2 $ इसके अक्ष के परितः $ L = I \omega $
0.3 kg और 0.7 kg के दो बिंदु द्रव्यमान 1.4 m लंबाई की और नगण्य द्रव्यमान वाली एक छड़ के सिरों पर स्थिर किए गए हैं। छड़ को इसकी लंबाई के लंबवत एक अक्ष के परितः एकसमान कोणीय चाल से घूर्णन कराया जाता है। छड़ पर वह बिंदु जिसके माध्यम से अक्ष को गुजरना चाहिए ताकि छड़ के घूर्णन के लिए आवश्यक कार्य न्यूनतम हो, ...... की दूरी पर स्थित है।
$ I = 0.3 x^2 + 0.7 ( 1.4 - x)^2 $ न्यूनतम कार्य के लिए निकाय का जड़त्व आघूर्ण न्यूनतम होना चाहिए $ { dI \over dx} = 0 = 03 \times 2x -0.7 \times 2 ( 1.4 - x) = 0 $
एक ऑटोमोबाइल इंजन 1800 r.p.m. की गति से घूमते हुए 100kw विकसित करता है। यह कितना बल आघूर्ण प्रदान करता है?
$ \omega = 1800 rpm = { 2 \pi \times 1800 \over 60 } = 60 \pi rad /sec $
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