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यदि किसी घूर्णनशील पिंड का कोणीय संवेग 200% बढ़ जाता है, तो इसकी गतिज ऊर्जा में वृद्धि होगी...
$ E = { L^2 \over 2 I } $ $ E \alpha L^2 $
समान मोटाई लेकिन भिन्न त्रिज्याओं वाली दो डिस्क दो भिन्न पदार्थों से इस प्रकार बनाई गई हैं कि उनके द्रव्यमान समान हैं। पदार्थों के घनत्व 1:3 के अनुपात में हैं। इन डिस्कों के जड़त्व आघूर्ण, उनके केंद्रों से गुजरने वाले और उनके तलों के लंबवत अक्षों के परितः, अनुपात में होंगे।
$M.I of disc = {1 \over 2} MR^2 = { 1 \over 2 } M \left( { M \over \pi \rho } \right) = { 1 \over 2} { M^2 \over \pi t \rho } $ चूंकि उनका द्रव्यमान और मोटाई कुछ हैं $ I \alpha { 1 \over \rho } $
दो घूर्णन कर रहे पिंडों A और B के जड़त्व आघूर्ण क्रमशः $ I_A $ और $I_B $ हैं। $ ( I_A \gt I_B ) $ और उनके कोणीय संवेग बराबर हैं। यदि उनकी गतिज ऊर्जा क्रमशः $ K_A and K_B $ हो,
$ As K = { I^2 \over 2I } , K_A = { J^2 \over 2I_A}, and K_B = { J^2 \over 2 I_B} $
हाइड्रोजन परमाणु के प्रथम अनुमत कक्षा में इलेक्ट्रॉन के कोणीय संवेग का द्वितीय अनुमत कक्षा में कोणीय संवेग से अनुपात है
$ L = { nh \over 2 \pi } $
L लंबाई की एक सीधी छड़ का एक सिरा मूल बिंदु पर और दूसरा सिरा x=L पर है। यदि छड़ का प्रति मात्रक द्रव्यमान Ax द्वारा दिया गया है, जहाँ A स्थिरांक है, तो इसका द्रव्यमान केंद्र कहाँ है?
मान लीजिए कि छड़ के बाएँ सिरे से X दूरी पर स्थित dx लंबाई के अवयव का द्रव्यमान $ { M \over L } dx $ है, द्रव्यमान केंद्र का x-निर्देशांक निम्न द्वारा दिया जाता है। $ Total mass of rod = \int_0^1 Ax .dx = {AL^2 \over 2 } $ $ x_{cm} = { 1 \over M } \int xdm = { 1 \over \left( { AL^2 \over 2 } \right)} \int _0^1 x ( Ax dx ) $
एक चिकना गोला A घर्षण रहित क्षैतिज तल पर कोणीय चाल $ \omega $ और द्रव्यमान केंद्र वेग v से गतिमान है। यह विराम में स्थित एक समान गोले B से प्रत्यास्थ और सीधा संघट्ट करता है। हर जगह घर्षण की उपेक्षा करें। संघट्ट के बाद, उनकी कोणीय चाल क्रमशः $ \omega_A $ और $ \omega_B $ हैं, तब
चूंकि यह दो समान गेंदों के बीच सीधा प्रत्यास्थ संघट्ट है, इसलिए वे अपने रैखिक वेग का आदान-प्रदान करेंगी, अर्थात A विराम में आ जाता है और B रैखिक वेग V से चलना शुरू करता है। चूंकि कहीं भी घर्षण नहीं है, दोनों गोलों पर उनके द्रव्यमान केंद्र के परितः बलाघूर्ण शून्य है और उनकी कोणीय चाल अपरिवर्तित रहती है $ \therefore \omega_A = \omega and \omega = 0_B $
L लंबाई की एक छड़ अपने केंद्र से गुजरने वाले और इसकी लंबाई के लंबवत एक अक्ष के परितः कोणीय वेग $ \omega $ से घूर्णन करती है। यदि A अनुप्रस्थ काट है और D छड़ के पदार्थ का घनत्व है। इसकी घूर्णन K.E. ज्ञात कीजिए।
$ Rotational K.E. = { 1 \over 2 } I \omega ^2 $
दो डिस्क, एक का घनत्व 7.2 gm/cc और दूसरे का घनत्व 8.9 gm/cc, समान द्रव्यमान और मोटाई के हैं। उनके जड़त्व आघूर्णों का अनुपात ... है
$ { I_1 \over I_2 } = { { 1\over 2 } M_1 R_1^2 \over { 1 \over 2 } M_2 R_2^2 } = { R_1^2 \over R_2^2 } $
द्रव्यमान M के एक वृत्ताकार डिस्क का प्रारंभिक कोणीय वेग $w_1$ है। फिर द्रव्यमान m के दो गोले डिस्क के किनारे पर व्यास के विपरीत बिंदुओं पर धीरे से जोड़े जाते हैं डिस्क का अंतिम कोणीय वेग क्या है?
$ if \tau = 0 , I_1 w_1 = I_2 w_2 $
एक कार स्थिर चाल से चल रही है, कार के पहिए प्रति मिनट 120 चक्कर लगाते हैं। ब्रेक लगाए जाते हैं और कार 8 सेकंड में विरामावस्था में आ जाती है। कार के विरामावस्था में आने से पहले पहियों द्वारा कितने चक्कर पूरे किए जाते हैं?
$ \omega_0 = { 2 \pi \times 120 \over 60} = 4 \pi rad /sec $ अब $ \omega = \omega_0 + \alpha t $ 8 सेकंड में वर्णित कुल कोण है $ \theta = w_0 t + { 1 \over 2} \alpha t^2 $
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