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एक गोलाकार गेंद बिना फिसले मेज पर लुढ़कती है, तो इसकी कुल ऊर्जा का वह भाग जो घूर्णन से संबद्ध है, वह है
$ Total energy E = { 1 \over 2} I \omega^2 + {1 \over 2} mv^2 = { 1 \over 2} \times { 2 \over 5 } mr^2 \omega^2 + { 1 \over 2} mr^2 \omega^2 $
एक वृत्ताकार डिस्क x जिसकी त्रिज्या R है, मोटाई t की एक लोहे की प्लेट से बनाई गई है। और एक अन्य डिस्क Y जिसकी त्रिज्या 4R है, मोटाई t/4 की एक लोहे की प्लेट से बनाई गई है, तो जड़त्व आघूर्ण $ I_x and I_y $ के बीच संबंध …… है।
$ M ass = Volume \times \rho = M = \pi R^2 t \rho $ $ M.I of x is I_x = { 1 \over 2 } m_1 R_1^2 $
एक द्विआधारी तारा दो तारों A (2.2 Ms) और B (द्रव्यमान 11 Ms) से बना है, जहाँ Ms सूर्य का द्रव्यमान है। वे d दूरी से पृथक हैं और अपने द्रव्यमान केंद्र के परितः घूर्णन कर रहे हैं, जो स्थिर है। द्विआधारी तारे के कुल कोणीय संवेग का द्रव्यमान केंद्र के परितः तारे B के कोणीय संवेग से अनुपात है:
यहाँ A के सापेक्ष C.M $ = \left( { 11M_5 \over 11M_5 + 2.2 M_5 } \right) d = {5d \over 6 } $ $ L_A = 2.2 M_5 w \left( { 5d \over 6} \right) ^2 = 55M_5 w { d^2 \over 36 } $ $L_B = 11 M_5 \omega \left( { d \over 6} \right)^2 = 11 M_5 \omega { d^2 \over 36 } $
द्रव्यमान M और त्रिज्या R का एक ग्रामोफोन रिकॉर्ड कोणीय वेग W से घूम रहा है। यदि प्रत्येक द्रव्यमान M के मोम के दो टुकड़े इस पर केंद्र से R/2 दूरी पर विपरीत दिशा में रखे जाते हैं, तो नया कोणीय वेग होगा...
$ I \omega = I' \omega' $ $ \therefore { MR^2 \over 2} \omega = \left [ { MR^2 \over 2} + 2m \left( { R^2 \over 4 } \right) \right] \omega' $ $ \therefore M \omega = ( M + m ) \omega' $
0.6 kg द्रव्यमान वाले एक मीटर स्केल का जड़त्व आघूर्ण, स्केल के लंबवत और स्केल पर 30 सेमी स्थान से गुजरने वाले अक्ष के परितः (स्केल की चौड़ाई नगण्य है)
समानांतर अक्ष प्रमेय द्वारा हल की गई समस्या
कथन -1— घर्षण किसी पिंड को सतह पर लुढ़कने के लिए आवश्यक है कथन -2— घर्षण आवश्यक स्पर्शरेखीय बल और बल आघूर्ण प्रदान करता है
कथन - 1 सही है क्योंकि लुढ़कने की गति होने के लिए घर्षण आवश्यक है क्योंकि यह फिसलन को रोकता है। कथन - 2 भी सही है क्योंकि घर्षण लुढ़कने के लिए आवश्यक स्पर्शरेखीय बल और बल आघूर्ण प्रदान करता है। इस प्रकार, कथन - 2, कथन - 1 की सही व्याख्या है।
M द्रव्यमान और R त्रिज्या की एक एकसमान डिस्क क्षैतिज से $ \theta $ कोण पर झुके हुए तल पर बिना फिसले लुढ़कती है। द्रव्यमान केंद्र का त्वरण है
$ Mg sin \theta - f = Ma $ $ \tau = I . \alpha $ $ As I = { 1 \over 2} MR^2 , \alpha = { a \over R} and \tau = fR$ $ Hence fR = { 1 \over 2} MR^2 . { a \over R } = { 1 \over 2 } MRa $
एक द्रव्यमान m, x-अक्ष के समानांतर एक रेखा के अनुदिश, मूल बिंदु से दूर, स्थिर वेग से गतिमान है। मूल बिंदु के सापेक्ष इसका कोणीय संवेग
$ L = Momentum \times perpenlicular distance between point of rotation and line of action $ = m.V.y सभी स्थिर रहते हैं L = स्थिर रहता है
द्रव्यमान M और त्रिज्या R का एकसमान डिस्क क्षैतिज से $ \theta $ कोण पर झुके हुए तल पर बिना फिसले लुढ़कता है। यदि डिस्क को समान द्रव्यमान M और समान त्रिज्या R के वलय से बदल दिया जाए, तो वलय पर घर्षण बल का डिस्क पर घर्षण बल से अनुपात होगा
वलय के लिए $ I = MR^2 $
सूची I को सूची II से मिलाएं और सही उत्तर चुनें। सूची - I निकाय (x) अपनी अक्ष के परितः एक वलय (y) अपनी अक्ष के परितः एक समान वृत्ताकार डिस्क (z) किसी भी व्यास के परितः एक ठोस गोला (w) किसी भी स्पर्श रेखा के परितः एक ठोस गोला
सूची - II (1) $ { M R^2 \over 2 } $ (2) $ { 2\over 5 } MR^2 $ (3) $ { 7 \over5 } MR^2 $ (4) $ MR^2 $ (5) $ { 9 \over 5 } MR^2 $
विभिन्न निकायों के लिए जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार हैं:
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